一個數學家的嘆息-讀書筆記
作者保羅·洛克哈特，一位傑出的富有傳奇色彩的數學家。大概14歲時，他對數學產生濃厚興趣（他特別指出，不是由於學校的數學課程）。為專心研究數學，他從大學退學，靠編程和當小學老師為生。1990年在哥倫比亞大學獲得博士學位後，洛克哈特先後在加州大學伯克利分校的數學科學研究中心和布朗大學任職。2000年加入紐約的獨立學校聖安學校，教導從幼兒園到12年級的數學課至今。數學教育，不僅困擾孩子，也是很多成年人的噩夢。如何才能擺脫當下「刷題」「背公式」的教學桎梏，讓孩子真正愛上數學？又如何讓成年人意識到數學並不是只代表恐懼，而是神奇而美妙的藝術？
作者認為，就像繪畫、音樂和詩歌一樣，數學是一門藝術，我們的靈感需要被激發；數學又與遊戲一樣，要基於好奇心去探索。在本書中，作者既替孩子所接受的數學教育感到憤懣，也替數學本身感到惋惜，因此而呼籲教育者反思和嘗試改變自己的教學方式，帶領孩子能夠真正走進數學的世界，領略數學之美。
當代美國的數學教育
音樂家夢到，音樂教育就是要讓孩子掌握音樂這種語言，先學音樂理論，學五線譜，理解什麼叫五度循環，什麼叫和聲，什麼叫復調，不許唱歌不許演奏樂器。因為演奏或者是聆聽音樂是太高深的課題，上了大學才能學。洛克哈特說，音樂當然不能這樣教，但是，今天美國的數學恰恰是這樣教的。這是洛克哈特的不滿。在他看來，學數學，應該像學藝術一樣。他引用英國數學家哈代的話：一個數學家，就像一位畫家或詩人，是模式的創造者。
把數學比作藝術，說數學的美學原則就是簡單，這種說法並不新鮮。洛克哈特的數學教育理念有什麼特別之處呢？很對人認為孩子不喜歡思考，所以要降低數學難度，讓他們嘗到思考的樂趣，才會喜歡學習。洛克哈特不認同這種教育理念。他說，面對數學問題，要有遊戲精神。想要學好數學，學生要有好奇心，他必須想要知道答案，而且要不斷嘗試，樂在其中，用自己的想象力，來娛樂自己。
請你想象一個長方形中，有一個三角形，三角形的底邊就是長方形的底邊，三角形的頂點位於長方形上面那條邊的任意一點，那麼這個三角形的面積，是長方形面積的三分之二還是二分之一？解法很簡單。洛克哈特做了一條輔助線，從三角形頂點，畫一條垂直於底邊的線。這條線把長方形分成了兩個部分。這兩個部分，都被三角形的斜邊切成了一半。顯然，這個三角形的面積，正好是長方形面積的一半。
這道題，我們在數學課上不是這麼學的。數學老師只是告訴你一個公式，三角形面積等於二分之一的底乘高（A=1/2bh），然後就讓你在習題中反覆應用。洛克哈特說，他不是反對公式，而是反對不講輔助線。三角形面積是長方形面積一半，這個事實不重要，重要的是用輔助線來切割。這個巧妙構想會讓孩子明白什麼叫數學方法，可以激發他更多的構想。如果他不懂得欣賞這條輔助線，就不能理解數學的美感和想象力。嘗試畫出這條輔助線就是把做題當遊戲，由此得到對稱的概念，就是樂趣。洛克哈特不僅反對直接告訴孩子結果，他也非常反感用講故事的方式來講數學。
比如，瑪麗亞的年齡是她七年前年齡的兩倍，請問瑪麗亞幾歲了。他說，你都知道她的年齡是她七年前的兩倍這樣重要的信息了，你怎麼可能不知道瑪麗亞現在幾歲呢？這道題的關鍵，其實就是兩個數字之和與兩個數字之差的關係。這樣看起來，數學顯得不太友善，但是，想讓數學看起來跟生活有關，把數學弄得友善，這只是教師的做作。
洛克哈特非常驕傲地說，不要把數學變得有趣。你不懂，才會覺得它無趣，你懂了，它就樂趣無窮。數學的美就在於它跟日常生活沒關係，所以它才有趣。我們學校里為了讓孩子學會計算圓周的長度和圓的面積，會編一套圓周先生和面積太太的對話，這是最無聊的故事。好的數學故事來自數學史，要講清楚圓，就要講數學史上人類為了測量曲線所做的種種努力。
洛克哈特的觀點，很有挑戰性，也很有顛覆性。我們經常會覺得孩子不懂，不想他們解釋太多，想解釋也解釋不清楚。比如說，小孩子知道三角形有三條邊，四邊形有四條邊，知道五邊形、六邊形，乃至正十二邊形、正十七邊形。他可能會問你，圓有幾條邊？這是一個很難的問題。一般來說，我們為了圖省事，都會說，圓有一條邊，但這條邊是曲線。我們很難跟小孩子解釋，如果你把邊理解為一條線段，那麼圓有無數條邊，多邊形的邊數越多，其形狀、周長、面積就越接近於圓。所以，我們可以把圓看成是由無數個線段組成的正多邊形。圓是一種概念性的圖形。你如果這樣跟孩子解釋，孩子的腦子就亂掉了。
但洛克哈特就是要高估孩子的理解力。他覺得，要想讓孩子理解圓的面積和周長，就要講數學史上的歐多克索斯和阿基米德。歐多克索斯是公元前400年的古希臘數學家，他對數學的一個重要貢獻是建立了嚴謹的窮竭法，並用它證明了一些重要的定理。中國古代也有割圓為方的數學思想，就是用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積。但窮竭法、割圓為方，涉及極限和無限小的概念，如果沿着這個思路講下去，就會講到微積分。
你肯定會想，孩子能懂嗎？洛克哈特回答：我並不抱這樣的期望。我想說的是，現在的數學課程里，完全沒有數學的藝術與發現，沒有數學的歷史和哲學，這是不對的。數學課，一方面孩子要懂得數學符號和數學基礎知識，另一方面也要掌握數學思想。他還說，對於文學，我們就不會有這種懷疑。學習詩歌，並不是記得一大堆詩作，而是自己創作。
小孩子當然不可能在數學上有什麼創作。洛克哈特想強調的是，數學是一種探索過程，任何一種心智上的敏銳，都來自自己解決問題。在數學教育中適當引入數學史內容，是讓孩子思考去如何解決問題，而不是被告知該怎麼解決問題。定義和公式並不能讓學生更聰明。
比如，數字有一個很神奇的現象，簡單來說，就是把連續的奇數相加，會得到一個平方數。你想想，1加3等於4，4是2的平方；1加3加5等於9，9是3的平方；再繼續算下去，1加3加5加7是16，16是4的平方；加到19，奇數之和是100，是10的平方。這是個規律嗎？奇數之和是一個平方數？
洛克哈特說，目前我們還無法斷言，就算檢查100萬個例子，也不能證明什麼。實際上，在數學領域，關於整數就有數百個簡單的問題，至今無解。但是，思考這個問題，是有意義的，把奇數相加跟算平方數，表面看起來是兩個沒關係的問題，為什麼它們之間會有這種神秘的關聯呢？他說，搞明白這個事情，才是你心智的進步，數學會讓你的心智每天都受到這樣的衝擊。
如何教好數學
洛克哈特認為，我們應該建立一些沒有形式的數學課程，學生遇到什麼，就學什麼。就是用問題引導問題，由此鍛煉數學的技巧。他說，這個想法可能有點兒瘋狂，因為這樣做，學校不能保證所有學生都能獲得同樣的數學知識。但是，學校本來就不該做這樣的保證，因為人和人就是不一樣的，一個高中畢業生不知道半角公式，也沒什麼。洛克哈特對美國的幾何課狠狠地吐槽了一番。洛克哈特說，中學的幾何課，比披着羊皮的狼還糟糕。學校嘗試用這個課程向學生介紹論證的方法，卻摧毀了理性論證的本質，磨滅了學生對幾何的喜歡，讓他們永遠不能以自然又直覺的方式來思考數學。
比如，兩條交叉的直線，一個夾角等於與它相對的那個夾角。這個事，憑直覺就能看出來，但美國中學的幾何課卻需要你證明它，證明過程非常簡單，但是看起來特別無趣。洛克哈特說，這本來應該是用最自然的語言寫出的趣味論證，卻被搞得沉悶、沒有靈魂。直截了當的觀察，寫成了一堆假學問。學生要學數學論證，但是，只有當你發現事情違反直覺，或者有矛盾的時候，你才需要嚴格的證明。
教數學的時候，洛克哈特特別強調直覺。他有一本叫《度量》，就是在喚起我們對幾何的直覺。這本書的第一頁上畫了一堆等邊三角形、正方形和正六邊形。洛克哈特說，我喜歡這幾個形狀，它們是對稱的，每個邊相等，每個角相等。 接着他把4個正方形擺成一個更大的正方形。4個正方形相交的那個點，正好有4個直角，一個直角的角度是90度，四個直角就是360度。在這裡，洛克哈特引入了一個基本的概念，叫圓角，圓角就是360度的角。接着，他講道：正三角形的內角是60度，6個正三角形圍成一個360度的圓角，正6邊形的內角是120度，3個正六邊形正好圍成一個360度的圓角。這幾個形狀在磁力貼上很常見。因為它們更容易拼在一起，搭建成一個更大的形狀。我們知道，360度就是沿着一點轉一圈，圓角就是360度。假設你沿着正三角形的三條邊轉上一圈，你就回到了原點，也就是完成了轉360度。可是，三角形的內角之和是180度，這是怎麼回事？
比如，你開車的時候，如果掉頭，角度其實為零，但你要轉180度。在這裡，洛克哈特又引入內角外角的概念。我們直覺想到的0度，就是內角角度；掉頭的時候實際轉了180度。這就是外角的角度。當我們在三角形的三條邊上行走時，轉的並不是內角的角度，而是外角的角度。
《度量》這本書生動地展示了洛克哈特的教學方法和教學理念。從好奇心出發，怎麼度量，這是最基本的問題。然後，他開始帶着我們在數學中遊戲，在各種圖形中畫輔助線，把一個圖形套入另一個圖形，將代數公式用幾何圖形展示出來。問題一步步深入，我們因此得到了數學的愉悅。
洛克哈特認為，教數學課，最終是要讓孩子領略到數學的美。孩子要有好奇心、遊戲精神，並且能在想象力中愉悅自己。他在教程中引入數學史上的一些內容，就是要孩子面對人類曾經面對的一些基本問題，怎麼計算，怎麼度量。
數學中一個常見的悖論是，引入一個更高的理論，讓原本看起來難的問題變得簡單。比如我們小學課程中經常面臨的一些應用題，一旦學會設未知數，就變得簡單了。但我們的小學課程不講未知數，洛克哈特的教學理念是從問題出發，不怕引入更高的數學概念，也不一定要割裂開幾何和代數課。面對問題，解決問題，從一個問題到另一個問題，只有在這樣的過程中，我們才能鍛煉出真正的數學技巧。
