魔鬼数学-读书笔记
作者乔丹·艾伦伯格 美国威斯康星大学数学系教授。他在世界范围内发表他的关于数论研究的演讲，并于2013年在世界最大的数学会议——数学联合会议上做主题演讲。他的文章主要发表在《连线》《纽约时报》《华盛顿邮报》《华尔街日报》《波士顿环球报》等 媒体上，他还为《石板》杂志写作“Do the Math”专栏文章，十分受欢迎。
你应该提前多长时间到达机场？民意调查的结果真的能代表人们的意愿吗？为什么父母都是高个子，孩子的身高却比较矮？用什么策略买彩票才能中大奖？《魔鬼数学》运用数学方法分析和解决了很多的日常生活问题，帮助数学门外汉习得用数学思维思考问题的技能。
线性
简单说，线性就是指两个变量之间存在一定的函数关系，比如，成正比或成反比。在应用上，最常见的就是统计上的线性回归法，也就是运用数理统计中的回归分析，确定两个或者两个以上变量之间的关系。不过，这种方法也存在着很多滥用，并且对人造成误导的现象，特别是在一些新闻报道里。比如，每当世界上有灾难发生的时候，报纸上总会出现一些吓死人的数字分析。伦敦大学的反恐专家曾经在报纸上说：
2005年10月底，恐怖袭击让1074个以色列人死亡，7520人受伤。对以色列这样一个小国而言，这两个数字已经大得惊人了，按照比例换算，相当于有5万个美国人死亡，30万个美国人受伤。
怎么算出来的呢？它是按照人口百分比换算的。用以色列恐怖袭击伤亡人数，除以以色列总人口数，得出一个比例，再用这个比例去乘美国的总人口数。在政治上，这样的表述有助于引起公众的强烈情绪，从而推动某项法案，但是在数学上，这种算法是错误的，这就是典型的滥用线性回归法，只考虑了简单的数字比例，而忽略了复杂事件中的其他因素。本书作者称这种方法为，粗暴线性回归法。
比如，美国大作家马克·吐温，早年间，曾经在密西西比河上当水手，还写过一本《密西西比河上的生活》，里面这样写着：176年前，下密西西比河在凯罗与新奥尔良之间的河段长1215英里，经过截弯取直之后，缩短为1180英里，之后在美洲湾取直，缩短为1040英里，再后来，这个河段又缩短了67英里。也就是说，在176年的时间里，下密西西比河缩短了242英里，平均每年缩短一又三分之一英里，因此，只要不是瞎子和白痴，我们就不难推测出，再过742年，下密西西比河将只剩下不到两英里长。
马克·吐温用到了线性回归法，得出结论是下密西西比河会不断缩小，看起来还蛮有道理的，但真的会是这样吗？我们知道，下密西西比河并没有在我们眼前一点点消失，甚至随着雨季和新航道的开辟，它还偶尔变长呢。 那么问题出在哪里呢？问题就在于马克·吐温使用的是典型的不假思索的线性回归法，只考虑了表面原因，没有考虑地理、气候、地表进化等等之类的其他原因，所以才得出似是而非的结论，根本经不起推敲。这就是说，无论恐怖袭击，还是地理、地质问题，背后都是一系列复杂的原因，不是简单套用某一个线性关系的公式就能搞清楚的。而且，考虑这样的问题，如果应用不同的数字关系，也会差异很大的不同结论。
比如，2004年，西班牙发生了3·11马德里地铁爆炸案，近200人遇难，假如事件发生地换成纽约，会是什么结果呢？如果按照西班牙和美国的总人口来算，美国人口大约是西班牙的7倍，所以纽约将会有大约1300人遇难。而如果按照马德里和纽约的人口比例来算，这个数字就会变成463人，要是再按照马德里省和纽约州的人口相比较，那么得出的结论是600人。
每个数字都不同，数学领域中有个检验对错的原则，那就是，如果按照不同的方法进行计算，得出了不同的结论，那么说明我们的方法有问题。也就是说，处理这样的复杂问题时，不适合采用线性回归法来研究。这就从数学的角度告诉了我们，线性回归法的简单运用，听起来挺靠谱，但实质上是复杂问题简单化，往往得出错误结论，所以，当你再听到所谓专家大谈统计数据、特别是一些用线性回归法推导出的数字时，要记住，不是所有的线都是直线，不是所有的数据都道出了真相。
推理
有一天，你收到一封信，一个来自美国巴尔的摩市的股票经纪人建议你买某一只股票，因为他预测在下个周这只股票会大涨。你并没当回事，但到了下个星期，你翻看了股票大盘，发现那只股票真的大涨。很快，你又收到这个股票经纪人的来信，他预测下个星期另一只股票会大跌。下个星期，这个预测又灵验了。这个股票经纪人连续十个星期给你来信预测，每一次都准得好像证券所是他开的一样。最后，他建议与你长期合作，把你的钱拿来由他投资。你会怎么做决定呢？
让我们引入数学，根据概率论，即使一个股市白痴，他随便猜测，每次得出一个正确的预测的概率是50%，那么连续十次预测全部命中的概率是：1/1024。这么低的概率，他都能百发百中，你是不是会对他惊为天人，放心地把钱交付给他去投资了呢？我们研究一下。
第一周，这个股票经纪人发出了10240封邮件，其中A组，预测股票会涨，B组，预测股票会跌。第二周，股票涨了，这个经纪人就把 B 组人完全删掉，继续给预测成功的 A 组人写信，依然是分成两半，一半预测某只股票会涨，另外一半预测相反。这样一周一周下去，每一周经纪人都会淘汰掉一半的人，那么十周之后，经纪人手里就会剩下10个幸运儿，他们连续十次收到巴尔的摩股票经纪人的正确预测，很自然地认为这位经纪人就是位天才，那么这位经纪人很可能从这十个人身上狠捞一笔。
2008年英国 BBC 有一档真人秀节目，魔术师用相同的手段给成千上万的英国人发送赌马的邮件，最后他成功地让某些人相信了他具备某种超能力。这套把戏在我们生活中随处可见，它之所以能奏效，是因为它并不是彻头彻尾的欺骗，它是用真实信息让你得出错误结论。我们在做数学推理的时候要知道：面对大数据的分析，必须小心翼翼，同一个观察结果，可以倒推出多种可能的原因，让我们误入歧途的，不是事情的真伪，而是推理的时候，是否漏掉了某种假设。
回归
你有没有发现一个现象，某个商铺在销售额快速增长十年后，渐渐回归平庸；一对极度聪明的父母所生的子女表现稀松平常，完全没有他父母一半的成就。这里面是有什么原因吗？商人可以说，自己的策略有问题，没有把握住市场的脉搏。父母可以说，也许是教育，也许是机会，也许只是时代变了。但是如果我们从数学角度来看，这种现象是完美的数学呈现，这是数学的“回归平均值”概念。什么是回归平均值？它指的是，只要研究对象受到随机性的影响，就会发生回归平均值的现象。
最先发现这个理论的是19世纪的英国科学家高尔顿，他是一名好奇心满满的数学家。他有个愿望，要把遗传问题量化。首先，他从父亲与孩子的身高入手，因为这是组比较容易采集的数据。他拿出一张白纸，用尺子画出坐标轴，横轴表示孩子的身高，纵轴表示父亲的，每一对父子在坐标图上就是一个黑点。他在收集了大量的数据之后，发现了“散点图”。
让我们先做一下假设：如果孩子的身高完全取决于父亲的身高的话，这张图就会变成一条直线。如果孩子的身高与父亲毫无关系，那么我们会得到一张杂乱无章的图，充满了随机的小黑点。但实际上呢，高尔顿得到的既不是直线图，也不是杂乱无章的图，而是一张散点图，也就是说，它呈现出一个近似椭圆的形状，其中心对应的就是父母与孩子正好都是平均身高的那个点。也就是说，不管父母的身高是高是矮，大数据表示，孩子们的身高都是逼近普通人的身高，也就是回归平均值的。
他在1889年《自然的遗传》一书中是这么总结的：我认为，从整体情况看，成年子女的身高与他们的父母相比更趋于平均水平。所以如果你个子很矮也不必担心，因为你的后代是有很大可能会达到正常人身高的。那我们到底还受不受遗传学的影响呢？高尔顿发现，遗传还是影响我们，但是通过相关函数发挥作用的。
高尔顿的椭圆形有胖有瘦，如果离心率大，则意味着遗传因素的作用大，椭圆形就胖，回归平均值的作用小，相反的话，回归平均值就起到了决定性作用。高尔顿把这个量称为“相关函数”。高尔顿就此推论，不仅身高，人们的智力水平肯定也会如此。
不管父母的智商如何高，后代不可能永远聪明下去，他们必然受到回归平均值的影响，成为普通人中的一员。这一理论后来被大数据的分析证明了，事实上，生活中随着时间产生变化的任何东西，几乎都会受到回归效应的影响。
民意
我们认为，所谓好政府，应该尽可能地倾听人民呼声，尊重人民的意愿。那么怎么知道什么才是人民的意愿呢？一般是通过民意调查，但是在现实操作中，往往不是这么简单。
比如，关于如何解决政府赤字的问题，美国政府展开了一次民调，结果是这样的。有三分之一的人认为，我们应当在不削减政府开支的前提下，通过提高税率的办法解决预算赤字。有三分之一的人认为，我们应当削减国防开支。剩下三分之一的人认为，我们应当大幅削减医疗福利。这会造成一个自相矛盾的结果，有三分之二的人同意削减开支，但是也有三分之二的人反对削减国防开支，三分之二的人反对削减医疗福利。也就是说，你满足了任何一群人，都放弃了更大一群人。每一位投票人的政治立场都富有理性而且合乎逻辑，但是，把所有人的立场汇总起来就成了闹剧。
“少数服从多数”原则简单明了，看似公平，但只有在仅涉及两种观点时，它才能取得最佳效果，只要观点多于两种，大多数人的喜好就会有自相矛盾的地方。那么一个政府官员他将如何履行自己的职责呢？很简单，既然人民没有达成一致意见，官员们自行其是就可以了。 如果你是一名平庸的政客，你就会认为民调数据自相矛盾，并为此痛苦不已。但是，如果你是一名优秀的政治家，你就会说：人们选择我，是希望我履行政府官员的职责，而不是研究民调数据。如果你是一位伟大的政治家，你会从另外一个方面思考问题，想方设法，对不一致的民调加以利用。
比如，你可以告诉大家，我保证大家无须多缴一美分的税，我将为城市提供必需的设施和优质的公共服务，还不会多花纳税人一分钱。这个策略是显而易见的，你没有选择他们三个人群中的任何一个，而只是排除了一个选项：增税。马上，你就获得了三分之二的民众的支持。这就是顺应民意。
彩票
彩票是否值得购买呢？当然是不值得。但是，大家还是乐此不疲地购买彩票，为什么呢？因为购买彩票是赌博，人人都想以少博多。亚当·斯密也是彩票的反对者之一，他在《国富论》里是这样说的：
政府卖彩票能赚钱这件事告诉我们，人们过高地估计了中奖的概率。我们从来没有看到过完全公平或者损益相抵的彩票，将来也不会看到，因为这样的彩票不会给发行方带来任何收益的机会。
亚当·斯密的表述是清晰有力的，但是我们不应该盲目相信他的话，因为严格来讲，他得出的结论并不完善，属于经验分析。每一种彩票的购买价值和获奖价值都不同，购买价值是你购买一张彩票所用的金额，而获奖价值是引入概率论之后，彩票的真正价值，我们用期望值来表达。期望值的计算方法是这样的，假定该彩票一共有1000万种号码组合，其中只有一种会中奖，每张彩票售价1美元，奖池累计资金为600万美元。 那么，该彩票兑奖一千万次，其中有九百九十九万九千九百九十九次的结果毫无价值，其中有1次的价值是600万美元。彩票的期望值为该结果的概率与该结果所对应的彩票价值相乘。也就是说你花了1美元，购买了价值0.6美元的商品。用1美元，购买60美分的商品，当然是不明智的，彩票的发行方是稳赚不赔的，发行量越大，发行方赚得越多。但是根据期望值的计算，这表述并不周全，因为有可能存在期望值大于购买值的彩票。
比如，2004年秋天，麻省决心振兴该州的彩票业，于是他们想出了一个主意，设计了一款新彩票。这款彩票不仅增加了很多小奖项，而且为了刺激销售，还规定如果一周之内没有人领走大奖，并且大奖基金超过200万美元的时候，奖金就会向下分配，增加容易赢取的奖项的金额。这种机制导致彩票期望值极速增长，高达5.53美元，而每一张彩票才卖2美元。
首先发现这个空子的是麻省理工的学生们，他们组团购买了1000张彩票，获得了三倍的收获。接着一个退休的数学教师也成立了多达70人的亲友团，一次购买了6万张彩票，获得超过5万美元的收入。还有东北大学的张英博士，他收益更多，以至于在2006年的时候，张博士干脆放弃了医学研究，全身心地投入到博彩活动中来。
彩票是赌博，可是它是否能给你带来巨大收益，除了小概率的运气之外，还有数学公式支持的期望值。2012年的时候，麻省彩票中心终于明白了这件事，取消了这款彩票，可是，在这七年的时间里，麻省理工的学生团队共获利超过350万美元。
数学可以让我们更好地思考：它可以磨练我们的直觉，让我们的判断更敏锐，它还可以驯服不确定性，让我们更深入地了解世界的结构和逻辑。拥有了数学工具，我们就可以把那些我们想当然的事情看得更透彻，从而做出正确的决策。
