魔鬼數學-讀書筆記
作者喬丹·艾倫伯格 美國威斯康星大學數學系教授。他在世界範圍內發表他的關於數論研究的演講，並於2013年在世界最大的數學會議——數學聯合會議上做主題演講。他的文章主要發表在《連線》《紐約時報》《華盛頓郵報》《華爾街日報》《波士頓環球報》等 媒體上，他還為《石板》雜誌寫作「Do the Math」專欄文章，十分受歡迎。
你應該提前多長時間到達機場？民意調查的結果真的能代表人們的意願嗎？為什麼父母都是高個子，孩子的身高卻比較矮？用什麼策略買彩票才能中大獎？《魔鬼數學》運用數學方法分析和解決了很多的日常生活問題，幫助數學門外漢習得用數學思維思考問題的技能。
線性
簡單說，線性就是指兩個變量之間存在一定的函數關係，比如，成正比或成反比。在應用上，最常見的就是統計上的線性回歸法，也就是運用數理統計中的回歸分析，確定兩個或者兩個以上變量之間的關係。不過，這種方法也存在着很多濫用，並且對人造成誤導的現象，特別是在一些新聞報道里。比如，每當世界上有災難發生的時候，報紙上總會出現一些嚇死人的數字分析。倫敦大學的反恐專家曾經在報紙上說：
2005年10月底，恐怖襲擊讓1074個以色列人死亡，7520人受傷。對以色列這樣一個小國而言，這兩個數字已經大得驚人了，按照比例換算，相當於有5萬個美國人死亡，30萬個美國人受傷。
怎麼算出來的呢？它是按照人口百分比換算的。用以色列恐怖襲擊傷亡人數，除以以色列總人口數，得出一個比例，再用這個比例去乘美國的總人口數。在政治上，這樣的表述有助於引起公眾的強烈情緒，從而推動某項法案，但是在數學上，這種算法是錯誤的，這就是典型的濫用線性回歸法，只考慮了簡單的數字比例，而忽略了複雜事件中的其他因素。本書作者稱這種方法為，粗暴線性回歸法。
比如，美國大作家馬克·吐溫，早年間，曾經在密西西比河上當水手，還寫過一本《密西西比河上的生活》，裡面這樣寫着：176年前，下密西西比河在凱羅與新奧爾良之間的河段長1215英里，經過截彎取直之後，縮短為1180英里，之後在美洲灣取直，縮短為1040英里，再後來，這個河段又縮短了67英里。也就是說，在176年的時間裡，下密西西比河縮短了242英里，平均每年縮短一又三分之一英里，因此，只要不是瞎子和白痴，我們就不難推測出，再過742年，下密西西比河將只剩下不到兩英里長。
馬克·吐溫用到了線性回歸法，得出結論是下密西西比河會不斷縮小，看起來還蠻有道理的，但真的會是這樣嗎？我們知道，下密西西比河並沒有在我們眼前一點點消失，甚至隨着雨季和新航道的開闢，它還偶爾變長呢。 那麼問題出在哪裡呢？問題就在於馬克·吐溫使用的是典型的不假思索的線性回歸法，只考慮了表面原因，沒有考慮地理、氣候、地表進化等等之類的其他原因，所以才得出似是而非的結論，根本經不起推敲。這就是說，無論恐怖襲擊，還是地理、地質問題，背後都是一系列複雜的原因，不是簡單套用某一個線性關係的公式就能搞清楚的。而且，考慮這樣的問題，如果應用不同的數字關係，也會差異很大的不同結論。
比如，2004年，西班牙發生了3·11馬德里地鐵爆炸案，近200人遇難，假如事件發生地換成紐約，會是什麼結果呢？如果按照西班牙和美國的總人口來算，美國人口大約是西班牙的7倍，所以紐約將會有大約1300人遇難。而如果按照馬德里和紐約的人口比例來算，這個數字就會變成463人，要是再按照馬德里省和紐約州的人口相比較，那麼得出的結論是600人。
每個數字都不同，數學領域中有個檢驗對錯的原則，那就是，如果按照不同的方法進行計算，得出了不同的結論，那麼說明我們的方法有問題。也就是說，處理這樣的複雜問題時，不適合採用線性回歸法來研究。這就從數學的角度告訴了我們，線性回歸法的簡單運用，聽起來挺靠譜，但實質上是複雜問題簡單化，往往得出錯誤結論，所以，當你再聽到所謂專家大談統計數據、特別是一些用線性回歸法推導出的數字時，要記住，不是所有的線都是直線，不是所有的數據都道出了真相。
推理
有一天，你收到一封信，一個來自美國巴爾的摩市的股票經紀人建議你買某一隻股票，因為他預測在下個周這隻股票會大漲。你並沒當回事，但到了下個星期，你翻看了股票大盤，發現那隻股票真的大漲。很快，你又收到這個股票經紀人的來信，他預測下個星期另一隻股票會大跌。下個星期，這個預測又靈驗了。這個股票經紀人連續十個星期給你來信預測，每一次都准得好像證券所是他開的一樣。最後，他建議與你長期合作，把你的錢拿來由他投資。你會怎麼做決定呢？
讓我們引入數學，根據概率論，即使一個股市白痴，他隨便猜測，每次得出一個正確的預測的概率是50%，那麼連續十次預測全部命中的概率是：1/1024。這麼低的概率，他都能百發百中，你是不是會對他驚為天人，放心地把錢交付給他去投資了呢？我們研究一下。
第一周，這個股票經紀人發出了10240封郵件，其中A組，預測股票會漲，B組，預測股票會跌。第二周，股票漲了，這個經紀人就把 B 組人完全刪掉，繼續給預測成功的 A 組人寫信，依然是分成兩半，一半預測某隻股票會漲，另外一半預測相反。這樣一周一周下去，每一周經紀人都會淘汰掉一半的人，那麼十周之後，經紀人手裡就會剩下10個幸運兒，他們連續十次收到巴爾的摩股票經紀人的正確預測，很自然地認為這位經紀人就是位天才，那麼這位經紀人很可能從這十個人身上狠撈一筆。
2008年英國 BBC 有一檔真人秀節目，魔術師用相同的手段給成千上萬的英國人發送賭馬的郵件，最後他成功地讓某些人相信了他具備某種超能力。這套把戲在我們生活中隨處可見，它之所以能奏效，是因為它並不是徹頭徹尾的欺騙，它是用真實信息讓你得出錯誤結論。我們在做數學推理的時候要知道：面對大數據的分析，必須小心翼翼，同一個觀察結果，可以倒推出多種可能的原因，讓我們誤入歧途的，不是事情的真偽，而是推理的時候，是否漏掉了某種假設。
回歸
你有沒有發現一個現象，某個商鋪在銷售額快速增長十年後，漸漸回歸平庸；一對極度聰明的父母所生的子女表現稀鬆平常，完全沒有他父母一半的成就。這裡面是有什麼原因嗎？商人可以說，自己的策略有問題，沒有把握住市場的脈搏。父母可以說，也許是教育，也許是機會，也許只是時代變了。但是如果我們從數學角度來看，這種現象是完美的數學呈現，這是數學的「回歸平均值」概念。什麼是回歸平均值？它指的是，只要研究對象受到隨機性的影響，就會發生回歸平均值的現象。
最先發現這個理論的是19世紀的英國科學家高爾頓，他是一名好奇心滿滿的數學家。他有個願望，要把遺傳問題量化。首先，他從父親與孩子的身高入手，因為這是組比較容易採集的數據。他拿出一張白紙，用尺子畫出坐標軸，橫軸表示孩子的身高，縱軸表示父親的，每一對父子在坐標圖上就是一個黑點。他在收集了大量的數據之後，發現了「散點圖」。
讓我們先做一下假設：如果孩子的身高完全取決於父親的身高的話，這張圖就會變成一條直線。如果孩子的身高與父親毫無關係，那麼我們會得到一張雜亂無章的圖，充滿了隨機的小黑點。但實際上呢，高爾頓得到的既不是直線圖，也不是雜亂無章的圖，而是一張散點圖，也就是說，它呈現出一個近似橢圓的形狀，其中心對應的就是父母與孩子正好都是平均身高的那個點。也就是說，不管父母的身高是高是矮，大數據表示，孩子們的身高都是逼近普通人的身高，也就是回歸平均值的。
他在1889年《自然的遺傳》一書中是這麼總結的：我認為，從整體情況看，成年子女的身高與他們的父母相比更趨於平均水平。所以如果你個子很矮也不必擔心，因為你的後代是有很大可能會達到正常人身高的。那我們到底還受不受遺傳學的影響呢？高爾頓發現，遺傳還是影響我們，但是通過相關函數發揮作用的。
高爾頓的橢圓形有胖有瘦，如果離心率大，則意味着遺傳因素的作用大，橢圓形就胖，回歸平均值的作用小，相反的話，回歸平均值就起到了決定性作用。高爾頓把這個量稱為「相關函數」。高爾頓就此推論，不僅身高，人們的智力水平肯定也會如此。
不管父母的智商如何高，後代不可能永遠聰明下去，他們必然受到回歸平均值的影響，成為普通人中的一員。這一理論後來被大數據的分析證明了，事實上，生活中隨着時間產生變化的任何東西，幾乎都會受到回歸效應的影響。
民意
我們認為，所謂好政府，應該儘可能地傾聽人民呼聲，尊重人民的意願。那麼怎麼知道什麼才是人民的意願呢？一般是通過民意調查，但是在現實操作中，往往不是這麼簡單。
比如，關於如何解決政府赤字的問題，美國政府展開了一次民調，結果是這樣的。有三分之一的人認為，我們應當在不削減政府開支的前提下，通過提高稅率的辦法解決預算赤字。有三分之一的人認為，我們應當削減國防開支。剩下三分之一的人認為，我們應當大幅削減醫療福利。這會造成一個自相矛盾的結果，有三分之二的人同意削減開支，但是也有三分之二的人反對削減國防開支，三分之二的人反對削減醫療福利。也就是說，你滿足了任何一群人，都放棄了更大一群人。每一位投票人的政治立場都富有理性而且合乎邏輯，但是，把所有人的立場匯總起來就成了鬧劇。
「少數服從多數」原則簡單明了，看似公平，但只有在僅涉及兩種觀點時，它才能取得最佳效果，只要觀點多於兩種，大多數人的喜好就會有自相矛盾的地方。那麼一個政府官員他將如何履行自己的職責呢？很簡單，既然人民沒有達成一致意見，官員們自行其是就可以了。 如果你是一名平庸的政客，你就會認為民調數據自相矛盾，並為此痛苦不已。但是，如果你是一名優秀的政治家，你就會說：人們選擇我，是希望我履行政府官員的職責，而不是研究民調數據。如果你是一位偉大的政治家，你會從另外一個方面思考問題，想方設法，對不一致的民調加以利用。
比如，你可以告訴大家，我保證大家無須多繳一美分的稅，我將為城市提供必需的設施和優質的公共服務，還不會多花納稅人一分錢。這個策略是顯而易見的，你沒有選擇他們三個人群中的任何一個，而只是排除了一個選項：增稅。馬上，你就獲得了三分之二的民眾的支持。這就是順應民意。
彩票
彩票是否值得購買呢？當然是不值得。但是，大家還是樂此不疲地購買彩票，為什麼呢？因為購買彩票是賭博，人人都想以少博多。亞當·斯密也是彩票的反對者之一，他在《國富論》裡是這樣說的：
政府賣彩票能賺錢這件事告訴我們，人們過高地估計了中獎的概率。我們從來沒有看到過完全公平或者損益相抵的彩票，將來也不會看到，因為這樣的彩票不會給發行方帶來任何收益的機會。
亞當·斯密的表述是清晰有力的，但是我們不應該盲目相信他的話，因為嚴格來講，他得出的結論並不完善，屬於經驗分析。每一種彩票的購買價值和獲獎價值都不同，購買價值是你購買一張彩票所用的金額，而獲獎價值是引入概率論之後，彩票的真正價值，我們用期望值來表達。期望值的計算方法是這樣的，假定該彩票一共有1000萬種號碼組合，其中只有一種會中獎，每張彩票售價1美元，獎池累計資金為600萬美元。 那麼，該彩票兌獎一千萬次，其中有九百九十九萬九千九百九十九次的結果毫無價值，其中有1次的價值是600萬美元。彩票的期望值為該結果的概率與該結果所對應的彩票價值相乘。也就是說你花了1美元，購買了價值0.6美元的商品。用1美元，購買60美分的商品，當然是不明智的，彩票的發行方是穩賺不賠的，發行量越大，發行方賺得越多。但是根據期望值的計算，這表述並不周全，因為有可能存在期望值大於購買值的彩票。
比如，2004年秋天，麻省決心振興該州的彩票業，於是他們想出了一個主意，設計了一款新彩票。這款彩票不僅增加了很多小獎項，而且為了刺激銷售，還規定如果一周之內沒有人領走大獎，並且大獎基金超過200萬美元的時候，獎金就會向下分配，增加容易贏取的獎項的金額。這種機制導致彩票期望值極速增長，高達5.53美元，而每一張彩票才賣2美元。
首先發現這個空子的是麻省理工的學生們，他們組團購買了1000張彩票，獲得了三倍的收穫。接着一個退休的數學教師也成立了多達70人的親友團，一次購買了6萬張彩票，獲得超過5萬美元的收入。還有東北大學的張英博士，他收益更多，以至於在2006年的時候，張博士乾脆放棄了醫學研究，全身心地投入到博彩活動中來。
彩票是賭博，可是它是否能給你帶來巨大收益，除了小概率的運氣之外，還有數學公式支持的期望值。2012年的時候，麻省彩票中心終於明白了這件事，取消了這款彩票，可是，在這七年的時間裡，麻省理工的學生團隊共獲利超過350萬美元。
數學可以讓我們更好地思考：它可以磨練我們的直覺，讓我們的判斷更敏銳，它還可以馴服不確定性，讓我們更深入地了解世界的結構和邏輯。擁有了數學工具，我們就可以把那些我們想當然的事情看得更透徹，從而做出正確的決策。
